Curso:
Matemática Aplicada (Ciclo: II)
Semestre:
2015- II
Profesor:
Carlos Alberto Rivas Rojas
Tema: Ecuaciones cuadráticas, inecuaciones, funciones, gráfica
de funciones y Modelos matemáticos
Objetivos:
a) Presentar los conceptos básicos de modelos
matemáticos y las ventajas de su uso en las decisiones empresariales
b)
Aplicación de de los conceptos, reglas y algoritmos del álgebra y geometría
analítica básica para resolver problemas de aplicaciones
c)
Análisis de situaciones de la vida real empleando modelos y cálculos
1.
Modelamiento matemático
Los modelos son representaciones de objetos o situaciones reales,
que pueden presentarse de varias maneras. Un avión o un buque a escala son
modelos icónicos; la representación con las mismas propiedades pero no la misma
apariencia física es un modelo análogo,
como el termómetro que representa la
temperatura; la representación de la realidad mediante símbolos y expresiones matemáticas es un
modelo matemático o simbólico. Este último tipo es el que emplearemos.
2.
Modelamiento aplicado a
los negocios
Las decisiones empresariales, referidas a hechos cuantitativos o no,
pueden ser modeladas mediante expresiones
matemáticas que toman en cuenta las variables o conceptos relevantes de
dicha realidad. Por ser un modelo, pueden ser dejadas de lado algunas variables
o relaciones cuya exclusión no invalida o distorsiona de manera significativa
los resultados.
Para los ingresos de ventas,
se usa la expresión
IT = Ingreso total = p*q = precio*cantidad,
donde dados los valores de las variables p y q, se puede encontrar
el ingreso correspondiente. En la práctica los precios pueden ser más bajos si
la cantidad es alta o a la inversa. Para simplificar se asume implícitamente
que se toman los valores en un rango relevante donde p no cambia.
En el caso de los costos, el costo total es
CT = CFT + CVT = Costo
fijo total + costo variable total.
El costo variable total CVT =
CVU*q,
Donde CVU= costo variable unitario también se considera que se opera
dentro de un rango relevante en el que los costos fijos y costos variables
unitarios permanecen sin cambio.
Cuando se requiere mayor fidelidad o semejanza del modelo con la
realidad, la complejidad y el aumento del número de variables es el precio
que debe pagarse. Para la absoluta
mayoría de situaciones un modelo simplificado,
pero no trivial, es suficiente como en el caso del modelo de “ingresos, costos y
utilidad”
La solución de los modelos con
datos reales se puede efectuar con programas o software general o especifico. En
el caso del software general, la hoja de
cálculo Excel es suficiente si se diseña el proceso de manera creativa.
Un detalle importante es la orientación de los ejercicios para los lectores que no tienen una fonación
matemática avanzada o que necesitan aprender
lo necesario para tomar las
decisiones sin necesidad de complicarse con notaciones, expresiones abstractas
o de difícil solución. La simplicidad y la utilidad para la toma de decisiones
son dos atributos importantes en
los modelos matemáticos aplicados a
negocios.
3.
Problemas de aplicación
3.1.
Problema de producción. Un pequeño
empresario fabrica dispositivos
mecánicos que puede vender en el mercado local. Para la producción, hay
un costo fijo de S/. 700.000, mientras que el costo unitario de producción es
de s/. 110. La demanda estimada de productos similares se estima por la siguiente
expresión: Demanda (q) = 70.000- 200p, donde p es el precio unitario de venta
en el mercado.
a)
Determinar el modelo matemático
que permite encontrar los beneficios de la venta de una cantidad cualquiera
para este pequeño fabricante
b)
¿Cuál es el precio con el cual
se alcanza el punto de equilibrio (Beneficio o utilidad = cero)?
c)
¿Con que precio se puede
obtener una utilidad de S/250.000?
d)
¿Con que cantidad se obtiene
una utilidad de S/ 250.000?
e)
Graficar el modelo inicial y
mostrar los puntos en los que la Utilidad = 0. Interpretar
f)
¿Cuál es el precio que debe
tener para obtener una utilidad de por lo menos S/. 100.000?
g)
¿Con que cantidad se puede lograr
una utilidad mayor S/. 125.000?
Solución.
a)
Modelo de beneficios
IT = p * q
CT = CFT +
CVT = CFT + CVU * q
Utilidad o beneficios = B = U = IT – CT
= p*q – (CFT + CVU*T)
En este caso:
IT = p*q = p *(70.000 –
200p) = 70.000 p - 200p2
CT = 700.000 +
110*q = 700.000 + 110 (70.000 -200p) =
700.000+7.700.000 – 22.000p
= 8.400.000 – 22.000p
De donde
U = B =
70.000p – 200 p2 – [8.400.000- 22.000p]
U = - 200 p2 +92.000p
– 8.400.000 (Modelo del problema
Se formó una expresión de segundo grado
con la variable p como incógnita. La variable U no es incógnita,
representa un dato o valor que debe
fijarse, de lo contrario habría dos variables desconocidas y sería
necesario un sistema de ecuaciones.
Las posibilidades para U son:
U = 0, es decir el equilibrio en el que IT
= CT
U > 0, donde IT > CT (hay beneficio
o ganancia neta)
U < 0, donde IT < CT (equivale a una
pérdida, déficit, ingresos perdidos)
b)
Reemplazando en el modelo se
tiene:
0 = - 200p2 +
92.000p – 8.400.000 (1)
-200p2 +
92.000p – 8.400.000 = 0 (1)
Una ecuación de segundo grado con una incógnita, la cual puede
resolverse (encontrar las raíces, o
valores de p que hacen cierta la ecuación 1). Para simplificar la ecuación pueden aplicarse algunas propiedades;
en este caso si se divide todo entre 100, la ecuación no se altera:
-200p2 +
92.000p – 8.400.000 = 0
-2p2 + 920p – 84.000 = 0 (1)
Se puede dividir entre 2 nuevamente y cambiar de signo (es decir,
multiplicar por -1 los dos miembros de la
ecuación) por la que la expresión más simple es:
p2
- 460p + 42.000 = 0 (2)
Aplicando la fórmula
general
(3)
Donde a = 1, b = -460, c =
42.000
El discriminante Δ=
b2 – 4c = (-460) 2 – 4(1) (42.000) = 43.600
Δ > 0 (positivo), por ello la ecuación tiene dos raíces o
soluciones reales y diferentes
Reemplazando en (2) tenemos
460 ±
460 ± 208,81
460 ± 208,81
p = ------------------------- =
----------------------
2(1) 2
De donde p1 = 334,30 =
340
p2 = 125, 59 = 126
Para
comprobar los resultados, se reemplazan en la ecuación (2) y se verifica la
verdad del enunciado.
En
este problema hay dos respuestas y como ambas son
consistentes en relación al problema, se
admiten y se interpretan como la
posibilidad de tener el beneficio U = 0 para dos niveles de producción. Esta situación
es posible en la vida real.
c)
Ahora la Utilidad U = 250.000
se obtiene reemplazando este valor en la ecuación (1)
-200p2
+ 92.000p – 8.400.000 = 250.000 (4)
-200p2
+ 92.000p – 8.750.000 = 0
-p2
+ 460p – 43.250 = 0
Multiplicando por (-1)
para cambiar de signo:
p2 -
460p + 43.250 = 0 (4)
Donde a = 1, b = -460, c =
43.250
El discriminante Δ=
b2 – 4c = (-460) 2 – 4(1) (43.250) = 38.600
Δ > 0 (positivo), por ello la ecuación tiene dos raíces o
soluciones reales y diferentes
Reemplazando en (2) tenemos
460 ±
460 ± 196,47
460 ± 196,47
p = ------------------------- =
----------------------
2(1) 2
De donde p1 = 328,23 =
328 um
p2 = 131,76 = 132 um
d)
La ecuación de demanda indica
que la cantidad es función del precio
Demanda = q = 70.000 – 200p
Reemplazando los dos valores tenemos
Q1 =
70.000- 200(328) = 4.400 unidades
Q2 = 70.000 – 200(132) = 43.600 unidades
En este ejemplo se comprueba que vender más no significa necesariamente
tener mayor utilidad. Mayores volúmenes de ventas significan mayores costos y
posiblemente la tendencia de los precios a la baja (por descuentos u otros
factores)
